Belépés címtáras azonosítással
magyar nyelvű adatlap
angol nyelvű adatlap
Matematika A2a - Vektorfüggvények
A tantárgy angol neve: Mathematics A2a - Vector Functions
Adatlap utolsó módosítása: 2008. május 7.
A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.
A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.
Együttható- és kibővített mátrix. Elemi sorműveletek. Gauss-Jordan és Gauss-kiküszöbölés. Az általános megoldás, mint az oszlopvektorok lineáris kombinációja. Lineáris egyenletrendszer megoldásának egzisztenciája és unicitása. A megoldáshalmaz geometriai szemléltetése. Homogén lineáris egyenletrendszer. Kerekítési hibák.
Alkalmazások: Lineáris egyenletrendszerek a globális helymeghatározásban (GPRS), Kirchoff-törvények, hálózatok analízise, polinom-interpoláció.
Speciális mátrixok, sor- és oszlopvektorok. Mátrixműveletek és tulajdonságaik. A mátrixszorzás, mint lineáris kombináció. Transzponált, nyom. Mátrix rangja. Mátrix inverze és ennek meghatározása. Egyenletrendszer megoldása mátrixinvertálással. Az egyenletek számának szerepe.
Determináns. Kifejtés 2×2-es és 3×3-as esetben. A determináns geometriai jelentése. Speciális alakú determinánsok értéke. A determináns kifejtése. Determinánsok tulajdonságai. Determináns kiszámítása Gauss-kiküszöböléssel. Formula mátrix inverzére. Cramer-szabály. Polinom-interpoláció és Vandermonde-determináns.
Lineáris tér axiómái és geometriai jelentesük. Mátrixterek, függvényterek. Lineáris függetlenség, altér, kifeszített altér, generátorrendszer, bázis. Báziscsere, az áttérés mátrixa. Nem véges dimenziós lineáris tér létezése. Euklideszi terek. Metrikus és normált tér. Normált tér szerkezete és geometriája. Ortogonális és ortonormált bázis. Cauchy-Bunyakovszkij egyenlőtlenség, Pithagorász-tétel.
Alkalmazások: Normák és approximációk, legjobb közelítés. Görbe illesztése mért adatokra. Legkisebb négyzetek módszere.
Lineáris operátor és transzformáció definíciója. Operátor mátrixa. Geometriai transzformációk (forgatás, tükrözés, vetítés) és mátrixuk. Limes, deriválás, integrálás, mint lineáris operátorok. Magtér, képtér. Dimenziótétel. Inverz. Mátrixtranszformáció. Lineáris transzformáció és lineáris egyenletrendszer kapcsolata. Sajátérték, sajátvektor. Speciális mátrixok sajátértékei és sajátvektorai. Hasonlóság. Diagonalizálhatóság. Jordan-alak és Gram-Schmidt ortogonalizáció.
Alkalmazások: 3-dimenziós grafika. Komputer grafika. Lineáris differenciálegyenletek elméletének alapjai. Kvadratikus alakok, kúpszeletek osztályozása.
Konvergencia, divergencia, maradéktag, abszolút- és feltételes konvergencia. Összefésülés. Konvergenciakritériumok. Speciális sorok. Zárójelezés, zárójelfelbontás. Sorok átrendezése, Riemann tétel. Hibabecslés Leibniz-sorok esetén.
Alkalmazások: Elemi függvények értékeinek kiszámítása, becslése.
Pontonkénti és egyenletes konvergencia. (Egyenletes) konvergenciatartomány és meghatározása. Az egyenletesen konvergens sorozatok és sorok alapvető tulajdonságainak invarianciája a limesre ill. a sorösszegzésre. Kritériumok egyenletes és nem egyenletes konvergenciára.
Konvergenciaintervallum. Taylor-sorok. Sorfejtés fogalma. Formális Taylor-sor. Hatványsor és Taylor-sor. Taylor polinom, Lagrange maradéktag. Függvény és Taylor-sora: formális Taylor-sor konvergenciája, függvény előállítása Taylor-sorával. Taylor-sor egyértelműsége. Elemi függvények Taylor-sora. Taylor-sorfejtés technikája.
Alkalmazások: Taylor-sor a közelítő számításokban. Az elemi függvények értékeinek kiszámítása és fontos matematikai állandók numerikus értékeinek meghatározása, a zsebszámológépek működése. Integrálás, határértékszámítás, differenciálegyenletek közelítő megoldása sorfejtéssel.
Trigonometrikus és Fourier-sor fogalma. Elégséges feltétel arra, hogy Fourier-sora előállítsa a függvényt. Páros és páratlan függvény Fourier-sora. Sorfejtés technikája. Fourier-sor n-edik szelete, mint a négyzetesen legjobban közelítő trigonometrikus polinom. Nevezetes numerikus sorok összegének kiszámítása.
Alkalmazások: Periódikus mozgások vizsgálata. Tranziensek és felharmónikusok. Hangtani alkalmazások: hang felbontása, szintetizálása.
Távolság, környezet, nyílt halmaz, zárt halmaz, korlátos halmaz, összefüggő halmaz. Konvergencia. Koordinátánkénti konvergencia. Bolzano-Weierstrass tétel több dimenzióban. Vektorfüggvények és megadásuk. Többváltozós függvény fogalma és szemléltetése. Többváltozós függvények és vektorfüggvények határértéke és folytonossága.
Alkalmazások: Skalár-vektor függvény (pl. hőmérséklet), vektor-skalár függvény (pl. mozgás pályája idő függvényeként), vektor-vektor függvény (pl. erőtér, folyadék, gáz áramlási sebessége a tér pontjaiban, geometriai transzformációk).
Vektorfüggvények differenciálhatósága. Speciális esetek: gradiens, deriváltvektor. A Jacobi mátrix, Jacobi determináns. Többváltozós függvények deriválása. Gradiens és parciális deriváltak kapcsolata. Geometriai szemléltetés. Szintfelületek. Másodrendű felületek szemléltetése szintvonalaikkal. Folytonos deriválhatóság. Láncszabály, középértéktétel, Young tétel. Differenciál, függvény lineáris közelítése. Függvény közelítése adott rendben. Iránymenti derivált fogalma, kiszámítása, a parciális deriváltakkal és a gradienssel való kapcsolata, geometriai jelentése. Lokális és tartományi szélsőérték. Létezésükre vonatkozó szükséges, illetve elégséges feltételek. Nyeregpont. Inverz függvény és implicit függvény tétel.
Alkalmazások: A természet- és humán tudományok által vizsgált mennyiségek vizsgálata a deriváltak segítségével. Ekvipotenciális felületek. Optimumszámítási modellek.
Jordan mérhetőség és terület, tulajdonságaik. Területi és térfogati integrál. Integrálhatóság elégséges feltételei. Kettős és hármas integrál kiszámítása: kétszeres és háromszoros integrál. Integrálási sorrend megváltoztatása. Integráltranszformáció. Fontosabb transzformációk: polárkoordinátákra való áttérés. Jacobi-determináns.
Alkalmazások: Alakzatok területének, testek térfogatának kiszámítása. Tömeg kiszámítása nem egyenletes anyagsűrűség esetén. Nyomaték, tömegközéppont, súlypont.
Szorgalmi időszakban: 2 darab 90 perces 60 pontos zárthelyi dolgozat.
Az 1. zárhelyi ideje a 6. hét. Témája: Lineáris tér alapfogalmai. Lineáris fûggés, fûggetlenség, bázis, dimenzió. Mátrixalgebra, determináns. Lináris operátorok.
A 2. zárthelyi ideje a 12. hét. Témája: Többváltozós függvények, alapfogalmak. folytonosság, deriválhatóság, gradiens. Többes integrál. Végtelen sorok, alapfogalmak, feltételes és abszolút konvergencia; konvergenciakritériumok.
Csak aláírást szerzett hallgató jelentkezhet vizsgára. A vizsga irásbeli és esetleg szóbeli részbõl áll. Az írásbeli vizsga mindenki számára kötelező. Az írásbeli vizsga 90 perces, 60 pontos zárthelyi dolgozat. Az szóbelizhet, aki a vizsga irásbeli részén legalább 40% (24 pont) eredményt ért el, ennél rosszabb írásbeli eredmény esetén a vizsgajegy elégtelen. A hallgató külön kérésére szóbeli nélkül elégséges vizsgajegy kerül megállapításra annak a hallgatónak esetén, aki a vizsga írásbeli részén legalább 55%-os (33 pont) eredményt ért el és közepes vizsgajegy kerül megállapításra annak a hallgatónak esetén, aki a vizsga írásbeli részén legalább 70% -os (42 pont ) eredményt ért el. Az írásbeli alapján megajánlottnál jobb jegyért és a jó és jeles osztályzatért szóbelizni kell.
A zárthrlyik, pótzárthelyik, írásbeli vizsgák az elégségesért tartott szóbeli vizsga tartalma ugyanaz a villamoskari előadáskurzusok esetében .