Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással

    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Matematika A4 - Valószínűségszámítás

    A tantárgy angol neve: Mathematics A4 - Probability Theory

    Adatlap utolsó módosítása: 2024. június 11.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar
    BSc, Villamosmérnök
    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    TE90AX58 3 2/2/0/f 4  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Keszthelyi Gabriella,
    4. A tantárgy előadója

    Dr. Keszthelyi Gabriella, Sztochasztika Tanszék

    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Az egy- és többváltozós függvények analízise, sorfejtések, lineáris algebra.
    6. Előtanulmányi rend
    Kötelező:
    (TárgyTeljesítve_Képzésen("BMETE90AX59") VAGY TárgyTeljesítve_Képzésen("BMETE90AX26"))
    ÉS NEM TárgyTeljesítve_Képzésen("BMETE90AX51")

    A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

    A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

    Ajánlott:
    Matematika A2 - Vektorfüggvények
    7. A tantárgy célkitűzése

    A tantárgy célja, hogy a véletlen jelenségek matematikai leírásába, törvényszerűségeibe vezesse be a hallgatót és ehhez egy gyakorlatias és modern megközelítést biztosítson.  A valószínűségszámítás az előző matematika tantárgyaktól eltérő gondolkodásmódot igényel: nehézsége az absztrakció mellett a szokatlanságban, az intuíciónak gyakran ellentmondó következtetéseikben rejlik. Éppen ezért fontos szerepe van a rugalmas és problémamegoldó gondolkodás fejlesztésében továbbá felkészít a szaktárgyakban és az alkalmazásokban előforduló igen nagyszámú, véletlennel kapcsolatos jelenségek modellezésére és a kapcsolódó számításokra. Ilyen alkalmazások például: mérések kiértékelése, adatok elemzése (statisztikai következtetések levonása) sok felhasználós hálózatok, információ átvitele, zajos rendszerek, megbízhatósági analízis, közgazdasági folyamatok, statisztika.

     

    8. A tantárgy részletes tematikája

    I. Eseménytér, valószínűségek tulajdonságai, eseményalgebra. Kombinatorika (Galton deszka, Pascal háromszög, permutáció, kombináció, variáció). A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle modellje, a valószínűség elemi tulajdonságai: (véges és megszámlálhatóan végtelen) additivitás, monotonitás, komplementer esemény valószínűsége, események összegének (uniójának) valószínűsége.

     

    II. Feltételes valószínűség. Kettő vs. több esemény függetlensége. Szorzatszabály. Bayes-tétel, Teljes valószínűség tétele.

     

    III. A valószínűségi változó fogalma. Diszkrét eloszlások (súlyfüggvény) tulajdonságai, nevezetes diszkrét eloszlások (egyenletes, Bernoulli, binomiális, hipergeometriai, geometriai, negatív binomiális, Poisson). Binomiális és hipergeometriai (vissszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel) összehasonlítása. Binomiális és Poisson összevetése, illetve binomiális közelítése Poissonnal.

     

    IV. Diszkrét várható érték, szórás, módusz, medián. Nevezetes diszkrét eloszlások várható értéke, szórása. Kovariancia, korreláció. Függetlenség és korreláció kapcsolata.

     

    V. Folytonos eloszlások. Sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény: valószínűségek kapcsolata a sűrűség- és az eloszlásfüggvénnyel. Eloszlásfüggvény analitikus tulajdonságai.  Nevezetes folytonos eloszlások (egyenletes, exponenciális, normális). Egyenletes eloszlás mint arányosság, exponenciális eloszlás örökifjúsága. Alkatrészek élettartamának modellezése exponenciális és normális eloszlással.

     

    VI. Poisson folyamat. A Poisson és az exponenciális eloszlás kapcsolata (egy adott intervallumon bekövetkező események számának eloszlása vs. az események között eltelt idő). Exponenciálisok összege: gamma eloszlás egész paraméterre (Erlang).

     

    VII. Várható érték, momentumok, szórás, módusz, medián folytonos esetben. Mintaátlag, tapasztalati szórás. Nagy számok törvényei. De Moivre-Laplace tétele. Poisson közelítése normálissal. Független, azonos eloszlású valószínűségi változók összege, átlaga: centrális határeloszlás.

     

    VIII. Normális eloszláscsalád: létjogosultsága, további alkalmazások. Szigma-szabályok. Standardizálás, valószínűségi változók további transzformációi.

     

    IX. Független valószínűségi változók összege: konvolúció (Bernoullik, binomiálisok, Poissonok, exponenciálisok, egyenletesek összege). Geometriai valószínűségek (két összefüggő egyenletes valószínűségi változó grafikus megjelenítése), diszkrét feltételes eloszlás, vegyes (diszkrét+folytonos eloszlások). 

     

    X. Kétváltozós eloszlások diszkrét és folytonos esetben.  Együttes sűrűség, eloszlás, peremsűrűség, peremeloszlás, feltételes sűrűség, eloszlás. A peremsűrűségek eredeztetése együttes sűrűségből, a feltételes sűrűség kapcsolata az együttes és a peremsűrűséggel. Függetlenség és szorzatszabály. Folytonos valószínűségi változók korrelációja. A peremeloszlások eredeztetése a peremsűrűségekből.

     

    XI. 2D egyenletes eloszlás, 2D normális eloszlás (különböző tartományokon, független és összefüggő esetben). Feltételes várható érték (definíció és szemléletes jelentés) mint valószínűségi változó. Teljes várható érték tétel.

     

    XII.  Lineáris regresszió. Regressziós görbe a legkisebb várható négyzetes hibával: feltételes várható érték. Lineáris regresszió, regressziós egyenes egyenlete. Statisztika: pontbecslések (X valószínűségi változó optimális θ paraméterére vonatkozó becslések). Maximum likelihood becslés. Küszöbindex (minta elemszám) keresése adott pontosság és hiba-valószínűség esetén. Intervallumbecslések várható értékre (ismert és ismeretlen szórás esetén). Konfidenciaszint és konfidenciaintervallum definíciója, szemléletes jelentése.

     

    XIII. Kiegészítő előadás

     

     

    9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)

    Heti 2 óra előadás, 2 óra gyakorlat.

    Az órák lebonyolítása:

    A gyakorlatokon a gyakorlatvezetők megtanítják a tananyag legfontosabb elemeit, és azt ott gyakorolják, gyakoroltatják is.

    Az előadásokon az előadó további feladatokat old meg, és a tananyag bizonyos kérdéseit részletezi, alaposabban kifejti.

    10. Követelmények Két nagy zárthelyi dolgozat külön-külön elégséges szintű (40%) megírása
    11. Pótlási lehetőségek Mindkét nagy zárthelyi dolgozat a szorgalmi időszakban pótolható. A vizsgaidőszakban egy pótpót zh megírására van lehetőség. 
    12. Konzultációs lehetőségek Számonkérés előtt szervezett konzultációk, továbbá egyéni konzultációk Teamsen.
    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

    Vetier András: Valószínűségszámítás (Typotex, 2020)
    Sheldon Ross: Introduction to Probability and Statistics for Engineers ans Scientists

    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra56
    Félévközi készülés órákra40
    Felkészülés zárthelyire24
    Házi feladat elkészítése
    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
    Vizsgafelkészülés
    Összesen120
    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta Dr. Keszthelyi Gabriella, adjunktus, Sztochasztika Tanszék
    IMSc tematika és módszer Külön, legfeljebb 20 fős gyakorlatokat indítunk számukra, ahol több, kreatívabb gondolkodást igénylő, kissé nehezebb feladatot kapnak a hallgatók, és külön súlyt fektetünk az előadáson elhangzottak mélyebb megértésére.
    IMSc pontozás A tantárgy elvégzése során 20 IMSc pont szerezhető beadandó szorgalmi feladatok megoldásával. Az IMSc pontok megszerzésének lehetősége nem csak az IMSc programban részt vevő hallgatók számára biztosított.