I. Eseménytér,
valószínűségek tulajdonságai, eseményalgebra. Kombinatorika (Galton deszka,
Pascal háromszög, permutáció, kombináció, variáció). A valószínűségszámítás
Kolmogorov-féle modellje, a valószínűség elemi tulajdonságai: (véges és
megszámlálhatóan végtelen) additivitás, monotonitás, komplementer esemény
valószínűsége, események összegének (uniójának) valószínűsége.
II. Feltételes
valószínűség. Kettő vs. több esemény függetlensége. Szorzatszabály.
Bayes-tétel, Teljes valószínűség tétele.
III. A
valószínűségi változó fogalma. Diszkrét eloszlások (súlyfüggvény)
tulajdonságai, nevezetes diszkrét eloszlások (egyenletes, Bernoulli,
binomiális, hipergeometriai, geometriai, negatív binomiális, Poisson).
Binomiális és hipergeometriai (vissszatevéses és visszatevés nélküli
mintavétel) összehasonlítása. Binomiális és Poisson összevetése, illetve
binomiális közelítése Poissonnal.
IV. Diszkrét
várható érték, szórás, módusz, medián. Nevezetes diszkrét eloszlások várható
értéke, szórása. Kovariancia, korreláció. Függetlenség és korreláció
kapcsolata.
V. Folytonos
eloszlások. Sűrűségfüggvény, eloszlásfüggvény: valószínűségek kapcsolata a
sűrűség- és az eloszlásfüggvénnyel. Eloszlásfüggvény analitikus
tulajdonságai. Nevezetes folytonos
eloszlások (egyenletes, exponenciális, normális). Egyenletes eloszlás mint
arányosság, exponenciális eloszlás örökifjúsága. Alkatrészek élettartamának
modellezése exponenciális és normális eloszlással.
VI. Poisson
folyamat. A Poisson és az exponenciális eloszlás kapcsolata (egy adott
intervallumon bekövetkező események számának eloszlása vs. az események
között eltelt idő). Exponenciálisok összege: gamma eloszlás egész paraméterre
(Erlang).
VII. Várható
érték, momentumok, szórás, módusz, medián folytonos esetben. Mintaátlag,
tapasztalati szórás. Nagy számok törvényei. De Moivre-Laplace tétele. Poisson
közelítése normálissal. Független, azonos eloszlású valószínűségi változók
összege, átlaga: centrális határeloszlás.
VIII. Normális
eloszláscsalád: létjogosultsága, további alkalmazások. Szigma-szabályok.
Standardizálás, valószínűségi változók további transzformációi.
IX. Független
valószínűségi változók összege: konvolúció (Bernoullik, binomiálisok,
Poissonok, exponenciálisok, egyenletesek összege). Geometriai valószínűségek
(két összefüggő egyenletes valószínűségi változó grafikus megjelenítése),
diszkrét feltételes eloszlás, vegyes (diszkrét+folytonos eloszlások).
X. Kétváltozós
eloszlások diszkrét és folytonos esetben.
Együttes sűrűség, eloszlás, peremsűrűség, peremeloszlás, feltételes
sűrűség, eloszlás. A peremsűrűségek eredeztetése együttes sűrűségből, a
feltételes sűrűség kapcsolata az együttes és a peremsűrűséggel. Függetlenség
és szorzatszabály. Folytonos valószínűségi változók korrelációja. A
peremeloszlások eredeztetése a peremsűrűségekből.
XI. 2D egyenletes
eloszlás, 2D normális eloszlás (különböző tartományokon, független és
összefüggő esetben). Feltételes várható érték (definíció és szemléletes
jelentés) mint valószínűségi változó. Teljes várható érték tétel.
XII. Lineáris regresszió. Regressziós görbe a
legkisebb várható négyzetes hibával: feltételes várható érték. Lineáris
regresszió, regressziós egyenes egyenlete. Statisztika: pontbecslések (X
valószínűségi változó optimális θ paraméterére vonatkozó becslések). Maximum
likelihood becslés. Küszöbindex (minta elemszám) keresése adott pontosság és
hiba-valószínűség esetén. Intervallumbecslések várható értékre (ismert és
ismeretlen szórás esetén). Konfidenciaszint és konfidenciaintervallum
definíciója, szemléletes jelentése.
XIII. Kiegészítő
előadás
|