Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

Név:	Beosztás:	Tanszék, Intézet:
Dr. Horváth Miklós	egyetemi tanár	TTK Analízis Tanszék
Dr. G. Horváth Ákosné	tud. főmunkatárs	TTK Analízis Tanszék
Dr. Kroó András	egyetemi tanár	TTK Analízis Tanszék
Dr. Andai Attila	egyetemi docens	TTK Analízis Tanszék
Dr. Tasnádi Tamás	egyetemi adjunktus	TTK Analízis Tanszék
Dr. Pitrik József	egyetemi adjunktus	TTK Analízis Tanszék

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

A tantárgy a mérnök informatikus MSc képzésben felmerülő analízis jellegű matematikai ismeretek széles körét mutatja be, alapvetően feladat- és alkalmazás-centrikus tárgyalásban. A következő témákat dolgozzuk fel: Laplace transzformáció és alkalmazásai, általánosított függvények (Fourier-transzformáció és alkalmazásai), waveletek, parciális differenciálegyenletek (elmélet, alkalmazás és numerikus módszerek), variációszámítás, irányításelmélet, numerikus optimalizálás.

A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő minden hallgatótól elvárható, hogy:

• értse és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tárgyalt fogalmakat és ismereteket,
• a gyakorlati élet által felvetett problémákban felismerje a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit.

1. A Laplace-transzformáció és alkalmazásai (10 óra)

A transzformált értelmezési tartománya, alaptulajdonságai, elemi függvények transzformáltjai, deriválás, integrálás, konvolúció. Unicitás, inverz Laplace-transzformáció, numerikus inverzió. Lineáris differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Kezdeti és végérték-tétel, egységugrás, fűrészfog és négyszögjel transzformáltja. Áramkörök. A z-transzformált.

2. Általánosított függvények; Fourier-transzformáció és alkalmazásai  (10 óra)

A disztribúcióelmélet elemei, Dirac-delta, Heaviside-függvény. Disztribúciók Laplace- és Fourier-transzformáltja. Fourier-transzformált az L2-térben, harmonikus oszcillátor. A Fourier-transzformált kapcsolata a Laplace-transzformálttal.

3. Waveletek  (8 óra)

A harmonikus rezgés elemei (amplitúdó, frekvencia). Véges és végtelen összegre való felbontás. Jelek analízise és szintézisek problémái a Fourier-sor, transzformáció segítségével. Wavelet-sor, wavelet-transzformáció bevezetése. A wavelet-analízis feladata.

Ablak Fourier-transzformációk. Alkalmazás az időbeli és frekvencia lokalizációjára. Diszkrét és gyors Fourier-transzformáció. Folytonos wavelet-transzformációk: Waveletek transzformálásának célja és definíciója.. Rekonstruálási formulák. Frekvencia lokalizációja.Diszkrét idő-frekvencia analizálása és mintavételezése: Shannon-féle mintavételi tétel. Mintavételezés az idő-frekvencia tartományon. Az ortogonalizálás problémája.

Fizikai waveletek: Jelek és hullámok. Elektromágneses waveletek szóródása. Az elektromagnetikai hullámok atomos összeállítása. Alkalmazás radarra.

4. Parciális differenciálegyenletek elmélete, alkalmazásai és numerikus módszerei (10 óra)

Laplace-egyenlet, hővezetési egyenlet, hullámegyenlet. Végeselem módszer. Numerikus integrálás. Integrálegyenletek: transzport egyenlet (Fredholm féle másodfajú).

5. Variációszámítás, irányításelmélet (10 óra)

A variációszámítás alapfeladatai és alkalmazásaik, az Euler-Lagrange-egyenlet. Véges függvénysorokat alkalmazó numerikus módszerek: Ritz módszer, Galjorkin módszer.

6. Numerikus optimalizálás (8 óra)

Gyökkeresés és optimalizálás: Numerikus gyökkeresés nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek esetén (intervallumfelezési eljárás, szelőmódszer, egyszerű iteráció, Newton-módszer és változatai). Minimalizálás egy- és többdimenzióban (gradiens-alapú módszerek, konjugált irányok módszerei, Newton-módszerek, Simulated Annealing). Korlátos (constrained) optimalizálás.

1. A szorgalmi időszakban: két zárthelyi
2. A vizsgaidőszakban:  a vizsgán a tárgy mindkét feléből el kell érni az elégséges szintet. A vizsgajegy megállapítása felerészben a zárthelyik eredménye és felerészben a vizsga alapján történik. Az aláírás megszerzésének feltétele a zárthelyi dolgozatok teljesítése egyenként legalább 40%-ra. A vizsgára bocsátás feltétele az aláírás megléte.

• mindenki legfeljebb egy zárthelyit pótolhat, de azt esetleg kétszer
• egy pótzárthelyit tartunk a szorgalmi időszak végén, és egy pót-pótzárthelyit a pótlási héten (két feladatsorral, amelyiken mindenki a pótlandó (egy) zárthelyijét pótolhatja).

[1]  Davies, B.: Integráltranszformációk és alkalmazásaik, Műszaki Könyvkiadó, Bp, 1983.

[2]  Hartung F.: http://www.szt.vein.hu/~hartung/okt/ma6116a/

[3]  Járai A.: Modern alkalmazott analízis,  Typotex, Budapest, 2008.

[4]  Kaiser, G.: A Friendly Guide to Wavelets, Brikhauser, Boston, Basel, Berlin, 1994.

[5]  Szili L.: http://numanal.inf.elte.hu/~szili/Okt_anyag/Funkanal_honlapra.pdf