Lineáris algebra. Matematikai analízis.

Áttekintést kívánunk adni a numerikus algebra és a numerikus analízis legtöbbször alkalmazott algoritmusairól. A tantárgy célja az, hogy a hallgató tájékozódni tudjon a gyakorlatban előforduló numerikus problémák megoldására szolgáló módszerek között és ki tudja választani az adott feladathoz illeszkedő legmegfelelőbb eljárást.

1) Vektorok és mátrixok normája; alkalmazásuk néhány fontos becslésre, Rayleigh-elv.

2) A sajátértékek lokalizációja; Gersgorin-körök.

3) Mátrix szinguláris értékei. Mátrixok szinguláris értékek szerinti felbontása.

4) Moore-Penrose-féle pszeudóinverz.

5) Lineáris egyenletrendszerek, kondíciószám.

6) Lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldása. Direkt módszerek: a Gauss-féle elimináció Crout-féle változata.

7) Egyenletrendszer megoldása kontinuáns együtthatómátrix esetén.

8)  A konjugált irányok módszere.

9)  Iterációs módszerek: Gauss-Seidel-féle eljárás; a szukcessziv túlrelaxálás módszere. A váltakozó irányok módszere.

10) Alkalmazás: a Poisson-egyenlet megoldása. Tenzorszorzat.

11)  A sajátérték-feladat numerikus megoldása.

12) Hatványiteráció és inverz hatványiteráció, Mises-tétel.

13)  Valós elemű szimmetrikus mátrixok sajátérték-feladata.

14)  Householder-féle transzformáció tridiagonális alakra hozásra.

15)  Kontinuáns mátrix sajátérték-feladata. Sturm-tétel.

16) Nemszimmetrikus mátrixok sajátérték feladata.

17)  A Hessenberg-féle alakra való transzformáció.

18)  A QR transzformáció.

19) Courant-Fischer-tétel és alkalmazásai.

20) Lánczos-módszer.

21) Különböző alkalmazási területek az időtől és érdeklődéstől függően, pl. differenciálegyenletek numerikus megoldása, klaszterezés, PageRank.

Heti 4 óra előadás.                    

A szorgalmi időszakban: A félév aláírással zárul, amelynek követelménye a kötelező házifeladat beadása és az előadások rendszeres látogatása.

A vizsgaidőszakban: Szóbeli vizsga.

Elővizsga: lehetséges. 

Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. 3. átdolgozott kiadás.

Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.

Forsythe, G. E. - C. B.: Lineáris algebrai problémák megoldása számítógéppel.

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976.

Bunse, W.- Bunse Gerstner, A.: Numerische lineare Algebra.

Teubner, Stuttgart, 1985.

D. M.Young : Nagy lineáris rendszerek iterációs megoldása.

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.

N. Sz.Bahvalov : A gépi matematika numerikus módszerei.

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976.

G. J. Marcsuk : A gépi matematika numerikus módszerei. Parciális differenciálegyenletek

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976.